• ​Artículo:

Números amarrados

Dr. José Aste 

Los números, como las palabras, raramente se presentan en forma aislada, como es bien sabido, la enseñanza de las Matemáticas se basa mayormente en enseñar las relaciones entre números o valores entre sí, entre números y expresiones o funciones, entre números o valores y gráficos, etc. etc.


En la enseñanza, se presentan pues contínuamente a los estudiantes, números "amarrados" por relaciones.


El nombre de nuestra compañía: "Quipus", corresponde a un sistema de registro de información de los Incas en el que ya desde hace varios siglos, materialmente se "amarraban" los números: una cuerda horizontal tenía por finalidad "atar" cuerdas verticales en las que venian regstrados números relacionados (normalmente valores de producciones y existencias diversas pero todos pertenecientes a una misma fecha o período). Esa misma cuerda horizontal, se prolongaba para "amarrar" los valores correspondientes al período siguiente, y así sucesivamente en una especie de registro estadístico.


Volviendo al aspecto educativo, se puede decir que el pizarrón es un elemento muy utilizado para representar números "atados" entre sí ya sea mediante signos matemáticos, textos descriptivos, planteamiento de problemas, flechas, etc. etc. Lo mismo se puede decir de las hojas de los cuadernos en las que los estudiantes realizan sus ejercicios de práctica o de exámenes. Las relaciones expresadas en estos dos medios, corresponden a lo que podríamos llamar amarres "pasivos": al borrar y escribir un nuevo número, no se producirá ningún cambio automático en los números relacionados.


Al emplear computadoras en la enseñanza de Matemáticas, se puede utilizar en forma muy cómoda una herramienta conocida como programa de matriz electrónica con la que fácilmente podrá usted convertir en "activos" los amarres entre los números de sus problemas o prácticas. Mucha gente piensa que estos programas tan conocidos y usados, solo son útiles para trabajar con "muchos" números (tal como series de tiempo) y sin embargo, también pueden ser usados en planteamientos de problemas de pocos números pero en los que se puede aprovechar sus respuestas inmediatas y automáticas para inducir al estudiante a "ir más allá" de la simple solución. Recordemos la importancia que debieran tener las prácticas no solamente como medio de evaluación sino tambien como ayuda para buscar la "profundización" de conocimientos por parte de los alumnos.


Existen programas de matrices electrónicas como el "Cruncher" de Davidson que permiten al maestro preparar y almacenar archivos en los que se han registrado adicionalmente a los números y sus relaciones, en las celdas de la matriz, una parte textual en la que se puede describir el problema así como las instrucciones necesarias con la facilidad adicional de poder incluir dibujos, animaciones y sonidos.


Creo que una forma muy buena para invitar a los estudiantes a esa "profundización" de que hablábamos, consiste en introducirlos a lo que llamaríamos "análisis post-solución". En mis clases de Investigación de Operaciones que dictaba a nivel licenciatura, les insistía mucho a mis alumnos sobre la importancia que tiene no solamente el encontrar la solución óptima de un problema sino también lo que se conoce como análisis post-óptimos tales como: análisis de sensibilidad (¿cuánto podrán variar los valores considerados sin que cambie la solución?), análisis marginales (¿hasta cuánto se podría pagar por una unidad adicional de los recursos disponibles), razones de substitución, etc. Estos análisis dan una visión mucho mas "completa" e "interesante" de la realidad existente que la propia solución óptima (que a lo mejor ya no lo será en un corto tiempo).


Regresando nuevamente a la enseñanza escolar de Matemáticas y para tratar de aclarar lo expresado hasta aquí, quisiera considerar un problema muy simple de práctica para estudiantes de primero de secundaria referente al uso de las operaciones básicas con números decimales. Se trata de calcular el total de dinero necesario para la compra de tres artículos comestibles a consumirse por una familia en el próximo mes: panqués, manzanas y refrescos.


En el planteamiento, se proporcionan los tres precios y las tres cantidades a comprar así como las seis "celdas" de la matriz electrónica adonde el estudiante deberá escribir los seis valores, las tres celdas con los valores "amarrados" (por una multiplicación) a cada uno de los pares de números correspondientes a cada producto y la celda con el total resultante "amarrada" a las tres últimas celdas (por una suma).


Como sabemos, después de que el alumno haya escrito en sus respectivas celdas los seis valores proporcionados, obtendrá en la celda final inmediatamente la solución del problema y es a partir de allí que deberá realizar los posibles "análisis post-solución". Por ejemplo: 

  • Considerando que los panqués se pueden poner duros después de dos días, ¿no sería mejor comprar solo los que se consumirán el primer día y en cambio comprar más manzanas? en ese caso, ¿cuántas manzanas podría comprar sin gastar más del "presupuesto" (lo que se iba a gastar)? 
  • Si deseara comprar una cantidad muy grande de manzanas tendré que buscar manzanas más baratas, ¿a que precio como máximo debería comprarlas para no salirme del total por gastar? 
  • Ante un cambio de precio de los productos, ¿qué cantidades se comprarían?


Todos esos análisis se realizarán simplemente cambiando los valores de las celdas de entrada de datos y anotando los resultados obtenidos los que en algunos casos, pueden dar idea para otros análisis interesantes de realizar.


Para finalizar, quisiera anotar aquí las siguientes consideraciones:

1- Si bien este proceso se puede llevar a cabo sin necesidad de computadoras ("a mano"), la gran rapidez y simplicidad de obtención de resultados (muchas veces por tanteos de prueba y error) hace mucho más factible su ejecución libre de errores y de procesos lentos y desgastantes.

2- Es muy importante que los estudiantes expliquen y justifiquen todos los resultados obtenidos.- El programa "Cruncher" por ejemplo, dispone de una opción "Mostrar cálculos" que "detalla" paso a paso los resultados proporcionados para las celdas "amarradas", que puede ayudar mucho en el proceso explicatorio.

3- En las primeras experiencias de este proceso, será muy conveniente que el maestro especifique detalladamente las alternativas a analizar, para luego, conforme los estudiantes se van acostumbrando, ir dejando que ellos mismos "inventen" situaciones de análisis. La evaluación deberá considerar la solución obtenida y sobre todo, los análisis realizados.

4- Dado que la definición de alternativas a estudiar puede ser un proceso imaginativo, se presta muy bien a ser trabajado en grupos y aún, puede ser interesante considerarlo para un proceso de trabajo en cooperativa (por ejemplo en el caso aquí presentado, asignando a cada alumno, uno de los productos).  


Quipus S.A. de C.V.